Impulso y Cantidad de Movimiento

Concepto:

es el valor medio de la fuerza F1 durante el intervalo de tiempo.

es el valor medio de la fuerza F2 durante el intervalo de tiempo.

y 

dan el cambio total de la cantidad de movimiento para cada una. Pero hemos visto que en cada instante F2 es igual a - F1, de modo que 

es igual a -

, y por consiguiente:

.

es sumamente grande. Comparada con esta fuerza externa de gravedad es insignificante. Durante el choque podemos impunemente pasar por alto esta fuerza al determinar el cambio de cantidad de movimiento de la pelota.

se hace más pequeña. Esto se puede lograr suponiendo una fuerza F más y mas grande, o sea

. En el límite, cuando 

para que J sea constante para un valor finito. Si los choques ocurren en el tiempo cero dado que las fuerzas externas son inapreciables comparadas con la fuerza de choque infinita.

Existen varias aplicaciones para el impulso y seguramente todos usamos siquiera alguna vez alguna de estas aplicaciones o simplemente no nos damos cuenta de todo la que sucede en realidad, por ejemplo al jugar billar, el taco transmite energía a la bola mediante un choque y a su vez, la bola también transmite energía potencial al chocar con otras bolas.

Una gran parte de nuestra información acerca de las partículas atómicas y nucleares, se obtiene experimentalmente observando los efectos de choque entre ellas. A una mayor escala cuestiones como las propiedades de los gases se pueden entender mejor en función de choques de las partículas, y encontraremos que de los principios de la conservación de la cantidad de movimiento y de la conservación de la energía, podemos deducir mucha información acerca de los fenómenos de choques.

Impulso y cantidad de movimiento.- En un choque obra una gran fuerza en cada una de las partículas que chocan durante un corto tiempo; un bat que golpea una pelota de béisbol o una partícula nuclear que choca con otra son ejemplos típicos. Por ejemplo, durante el intervalo muy corto de tiempo que el bat está en contacto con la pelota se ejerce sobre esta una fuerza muy grande. Esta fuerza varía con el tiempo de una manera compleja, que en general no se puede determinar. Tanto la pelota como el bat se deforman durante el choque. Fuerzas de este tipo se llaman fuerzas impulsivas.

Supongamos que la curva de la figura 2 muestra la magnitud de la fuerza que realmente obra en un cuerpo durante un choque. Supongamos que la fuerza tiene una dirección constante. El choque comienza en el tiempo t1 y termina en el tiempo t2, siendo la fuerza 0 antes y después del choque.

De la ecuación I podemos escribir el cambio de cantidad de movimiento dp de un cuerpo en el tiempo dt durante el cual obra una fuerza F así:

dp = F dt

Podemos obtener el cambio de cantidad de movimiento del cuerpo durante un choque integrando en el tiempo del choque. Esto es,

p2 - p1 = I dp = I F dt

La integral de una fuerza en el intervalo durante el cual obra la fuerza se llama impulso de la fuerza. Por consiguiente, el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo sobre el cual obra una fuerza impulsiva es igual al impulso. Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores y ambos tienen las mismas unidades y dimensiones.

La fuerza impulsiva representada en la figura 2 se supone que es de dirección constante. El impulso de esta fuerza I F dt. está representado en magnitud por el área de la curva fuerza-tiempo.

Fenómenos de choque.- Consideremos ahora un choque entre dos partículas, tales como partículas de masa m1 y m2, durante el breve choque, esas partículas ejercen grandes fuerzas una sobre la otra. En cualquier instante F1 es la fuerza ejercida sobre la partícula 1 por la partícula 2 y F2 es la fuerza ejercida sobre la partícula 2 por la partícula 1. En virtud de la tercera Ley de Newton esas fuerzas son iguales en cualquier instante, pero en sentido contrario. además, cada fuerza obra durante el mismo período de tiempo, est es, el tiempo del choque,

dt = t2 - t1

Dos “partículas” m1 y m2 en choque, experimentan fuerzas iguales y puestas en la dirección de la línea de sus centros, acuerdo con la tercera ley de Newton.

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula resultante del choque es:

En esta expresión 

El cambio de cantidad de movimiento de la partícula 2 atribuible al choque es:

En esta expresión 

Si no actúan otras fuerzas en las partículas, entonces 

Si consideramos las dos partículas como constituyendo un sistema, la cantidad de movimiento total del mismo es:

P = p1 + p2.

y el cambio total de cantidad de movimiento del sistema como resultado del choque es cero, esto es:

Por consiguiente, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total del sistema es constante. Las fuerzas impulsivas que obran durante el choque son fuerzas internas que no tienen efecto en la cantidad de movimiento total del sistema.

Si consideramos después un sistema de 3, 4, o, de hecho de un número cualquiera de partículas que sufren colisiones entre si por una simple extensión del método usado para dos partículas, podemos demostrar que la cantidad del movimiento del sistema se conserva. El único requisito es que no obren fuerzas externas sobre el sistema.

Ahora el estudiante se preguntará por qué los fenómenos de choque se han discutido en función del impulso. De echo, el principio de conservación de la cantidad de movimiento ya se ha deducido antes. Todo lo que debemos reconocer para sistemas en los cuales ocurren colisiones, es que las fuerzas de choque son fuerzas internas, y para tales sistemas surge inmediatamente el principio de la conservación.

Una razón para considerar la naturaleza de impulso de un choque es que ilustra a una clase importante de problemas sobre como ocurre la conservación de la cantidad de movimiento. Sin embargo, una razón más importante es que nos permite explicar por qué casi siempre suponemos conservación de cantidad de movimiento durante un choque, aun cuando obren fuerzas externas sobre el sistema.

Cuando un bat le pega a una pelota de béisbol un bastón de golf le pega a una pelota de golf, o una bola de billar le pega a otra es evidente que obran fuerzas externas sobre el sistema; por ejemplo, la gravedad o la fricción ejercen fuerzas sobre esos cuerpos; esas fuerzas externas pueden no ser las mismas sobre cada cuerpo que choca, ni necesariamente se anulan por otras fuerzas externas durante el choque y suponer conservación de la cantidad de movimiento con tal que, como es casi siempre cierto,

Las fuerzas externas sean insignificantes en comparación con las fuerzas impulsivas de choque. Como resultado de ello, el cambio de cantidad de movimiento de una partícula que sufre un choque, cambio que provenga de una fuerza externa, es insignificante en

En la figura a la izquierda se puede observar,

que durante un choque la fuerza impulsiva, Fimp es

generalmente mucho mayor que cualquiera de las

fuerzas externas Fext que puedan sobre el sistema.

Comparación con el cambio de cantidad de movimiento de una partícula producido por la fuerza impulsiva de choque.

Por ejemplo, cuando un bate le pega a una pelota de béisbol el choque dura sólo una fracción de segundo, ya que el cambio de cantidad de movimiento es grande y el tiempo de choque es mas pequeño, se deduce de:

que la fuerza impulsiva media 

Si llamamos J al impulso entonces tenemos:

De tal manera que tratamos de conservar J constante conforme 

En la practica, por consiguiente, todo lo que se requiere para justificar el uso del principio de la conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de partículas, poco antes de que choquen, es igual a la cantidad de movimiento del sistema, poco después de que las partículas han chocado.

Choques en una dimensión.-

El problema de determinar el movimiento de los cuerpos después del choque, conociendo el movimiento antes del mismo, puede moverse solamente si conocemos exactamente las fuerzas de choque y podemos resolver las ecuaciones del movimiento. A menudo esas fuerzas no se conocen. Sin embargo el principio de la conservación de la cantidad de movimiento debe ser valido durante el choque, así como el de la conservación de la energía total. Aun cuando podemos no conocer los detalles de la interacción, esos principios pueden usarse para predecir los resultados del choque.

Los choques o están limitados a casos en los cuales dos cuerpos entran en contacto en el sentido usual. También se puede decir que chocan cuerpos que no entran en contacto por que ejercen fuerzas entre si y que alternan mutuamente sus movimientos. Los átomos pueden interactuar mediante fuerzas eléctricas o magnéticas que ejercen entre si, los núcleos pueden actuar mediante fuerzas nucleares y los cuerpos astronómicos pueden actuar mediante fuerzas gravitacionales tratando los cuerpos que interactuan como un sistema, podemos usar los principios de conservación para estudiar el movimiento de esos cuerpos.

Las colisiones ordinariamente se clasifican de acuerdo con lo que se conserve o no durante el choque la energía cinética. Cuando se conserva la energía cinética durante un choque, se dice que el mecanismo es elástico; si no es así, el choque es inelástico. Las colisiones de las partículas atómicas y subatómicas, a veces son elásticas. De hecho estas son las únicas colisiones verdaderamente elásticas que se conocen. Sin embargo, a menudo podemos tratarlas como aproximadamente elásticas, como en el caso de choques de bolas de marfil o de vidrio. La mayoría de los choques son inelásticos. Cuando dos cuerpos quedan unidos después de un choque se dice que este es completamente inelástico. Por ejemplo el choque entre una bala y su blanco es completamente inelástico cuando la bala queda ahogada en el blanco. Él termino completamente inelástico no significa que pierda toda la energía cinética inicial; Como veremos; quiere decir también que la perdida es tan grande como lo permite la cantidad de conservación de la cantidad del movimiento.

Aun cuando las fuerzas de colisión no se conozcan, el movimiento de las partículas después de la misma puede determinarse a partir del movimiento antes del choque con tal de que este sea completamente inelástico, o bien, si es elástico, con tal que se efectúe en una sola dimensión el movimiento relativo después de este es a lo largo de la misma línea que el movimiento relativo antes del mismo.

Consideremos primero un choque elástico en una sola dimensión.

Podemos imaginar dos esferas lisas, que no rigen, moviéndose inicialmente en la dirección de la línea que une sus centros, chocando frente a frente y moviéndose en la misma línea recta sin rotación después del choque. La situación se ilustra en la figura que tenemos de abajo.

Debido a su forma esférica, esos cuerpos ejercen fuerza entre sí, durante el choque, que están a lo largo de la línea inicial del movimiento de tal manera que el movimiento final esta también él la misma línea.

Las masas de la esfera son m1 y m2 siendo las velocidades componentes u1 y u2 antes del choque y v1 y v2 después del choque.

m1 m2 m1 m2

u1 u2 v1 v2

u1-u2 v2-v1

Antes del choque Después del choque

Llamamos la dirección positiva de la cantidad de movimiento y de la velocidad hacia la derecha. Entonces del principio de la conservación de la cantidad de movimiento obtenemos

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

y de la conservación de la energía cinética obtenemos

1/2 m1u12 + 1/2 m2u22 = 1/2 m1v12 + 1/2 m2v22

La ecuación de la cantidad del movimiento se puede escribir

m1(u1 - v1) = m2 (v2 - u2) (1º)

y la ecuación de la energía se puede escribir

m1(u12 - v12) = m2 (v22 - u22) (2º)

dividiendo miembro a miembro la ecuación 2º entre la 1º obtenemos

u1 + v1 = v2 + u2 (3º)

Nótese que en un choque elástico en una dimensión, la velocidad mínima de acercamiento antes del choque es igual a la velocidad relativa de separación después del mismo porque la ecuación 3º se puede escribir también así.

u1 - u2 = v2 - v1

Para determinar las velocidades v1 y v2 después del choque a partir de las velocidades u1 y u2 antes del choque, podemos usar dos de las tres ecuaciones numeradas anteriormente. Así de la ecuación 3º

v2 = u1 + v1 - u2

reemplazando este valor en la ecuación 1º y despejando v1, obtenemos

v1 = (m1 - m2) u1 + (2m2) u2

(m1 + m2) (m1 + m2)

Análogamente poniendo v1 = v2 + u2 - u1 en la ecuación 3º despejando v2, obtenemos

v2 = (2m1) u1 + (m2 - m1) u2

(m1 +m2) (m1+ m2)

Hay varios casos de especial interés. Por ejemplo, cuando las partículas que chocan tienen la misma masa, m1 es igual a m2 las dos ecuaciones anteriores se transforman en

v1 = u2 v2 = u1

Esto es, un choque elástico de una dimensión de dos partículas de igual masa, las partículas simplemente intercambian sus velocidades durante el choque.

Otro caso de interés es aquel en el cual una partícula m2 esta inicialmente en el reposo. Entonces u2 es igual a cero y

v1 = (m1 - m2) u1 v2 = (2m1) u1

(m1 +m2) (m1 +m2)

Por supuesto que, sí m1 =m2 también, entonces v1 = 0 y v2 = 0 como era de esperarse. La primera partícula se “para en seco” y la segunda “arranca” con velocidad que tenia la primera originalmente. En cambio, si m2 es mucho mayor que m1, obtenemos

v1 " -u1 y v2 " 0

Esto es, cuando una partícula ligera choca con una de mucha mayor masa que esta en reposo, la velocidad de la partícula ligera aproximadamente se invierte y la partícula de gran masa permanece aproximadamente en reposo. Por ejemplo, supongamos que una pelota se deja caer verticalmente sobre una superficie horizontal fija a la tierra. Esto es de hecho un choque entre la pelota y la tierra. Si el choque es elástico, la pelota botara con una velocidad invertida y llegara a la misma altura a la de la cual caerá finalmente, si m2 es mucho menor que m1, obtenemos

v1 " u1 v2 " 2u1

Esto significa que la velocidad de la partícula incidente de gran masa casi no cambia con el choque contra la partícula ligera fija pero la partícula ligera rebota con una velocidad aproximadamente doble de la velocidad e la partícula incidente. El movimiento de una bola de boliche casi no es afectado porque choca contra una pelota de plástico del mismo tamaño inflada con aire pero la pelota rebota rápidamente.

Los neutrones producidos por un reactor por la fisión de los átomos de uranio se mueven muy aprisa y tienen que ser frenado si se quiere que produzcan mas fisiones. Suponiendo que se efectúan choques elásticos con los núcleos en reposo, ¿qué neutrón debe escogerse para moderar los neutrones en el reactor?

Sabemos de las consideraciones anteriores, que si los blancos estacionarios fueran núcleos de gran masa, como el plomo, los neutrones simplemente rebotarían con una velocidad casi igual a la que tenían inicialmente. Si los blancos estacionarios fueran mucho más ligeros que los neutrones, como los electrones, los neutrones aun seguirían de frente con la misma velocidad que tenían inicialmente. En cambio, si los blancos son partículas de masa casi igual. Los neutrones quedarían casi al reposo al chocar con ellos. Pos consiguiente, el retardador más efectivo será él hidrogeno cuyo núcleo (el protón) tienen casi la misma masa que el neutrón. Hay otras consideraciones que afectan la elección de un moderador para neutrones, pero no teniendo en cuenta las condiciones de cantidad de movimiento, la elección se limita a los elementos más ligeros.

Si un choque es inelástico ya no podemos practicar el principio de la conservación de la energía cinética. La energía cinética inicial puede ser menor al valor inicial, convirtiéndose finalmente la diferencia en calor o en energía potencial de deformación en el choque. En todo caso, el principio de la conservación de la cantidad del movimiento sigue siendo valido. De cualquier modo, debemos usar el principio de la conservación de la energía total y del de la conservación de la energía cinética.

Consideremos finalmente un choque completamente inelástico. Las dos partículas permanecen en contacto después del choque, de modo que habrá una velocidad final común v. usando el principio de la conservación de la materia.

m1u2 + m2u2 = (m1 + m2)v 4º

Gráficos: Impulso y Cantidad de Movimiento

Video: Impulso y Cantidad de Movimiento

Documento: Impulso y Cantidad de Movimiento

Ejercicios:

Problema n° 1) Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?.

Desarrollo
m.v_f - m.v_i = F.t
F = m.(v_f - v_i)/t
F = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s
F = - 3000 N
Desarrollo
m.v_f - m.v_i = F.t
m.(v_f - v_i) = F.t
v_f - v_i = F.t/m
v_f = F.t/m
v_f = 2,5 m/s

Datos:

m = 0,15 kg
v_i = 40 m/s
v_f = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido)
t = 5 ms = 0,005 s

Δp = I

p_f - p_i = I

F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s

Problema n° 2) Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?.

Datos:

m = 0,2 kg
F = 50 N
t = 0,01 s
v_i = 0 m/s

Δp = I

p_f - p_i = I

v_f = 50 N.0,01 s/0,2 kg